matemáticas

Las mariposas del caos

Edward Lorenz observó que existen sistemas de comportamiento impredecible, en los que pequeñas perturbaciones iniciales tienen efectos profundos en los resultados

El batir de las alas de una mariposa se puede sentir al otro lado del mundo», dice un antiguo proverbio chino. Esta sencilla frase ilustra a la perfección como pequeños cambios pueden conducir a consecuencias totalmente divergentes o, dicho de otro modo, como una pequeña perturbación inicial, mediante un proceso de amplificación, puede acabar generando un efecto considerable.

El famoso efecto mariposa está estrechamente relacionado con la aparición de la teoría del caos y con la figura del matemático y meteorólogo estadounidense Edward Norton Lorenz (1917-2008), que realizó importantes contribuciones que ayudaron a comprender las dinámicas atmosféricas y las predicciones climatológicas, introduciendo conceptos como atractores extraños y acuñando términos como el ya citado ‘efecto mariposa’.

Nacido en Connecticut, Lorenz estuvo fascinado desde niño con los números y los cambios del clima, se licenció en matemáticas en el Colegio Dartmouth y la Universidad de Harvard, donde se expuso por primera vez temas tales como teoría de grupos, de conjuntos y topología combinatoria. Durante la segunda Guerra Mundial se alistó en la fuerza aérea, formando parte del equipo de pronosticadores meteorológicos del ejército, que realizaba predicciones para apoyar a los bombardeos aéreos. Tras la contienda, obtuvo su doctorado en el Instituto de Tecnología de Massachusetts (MIT), con un trabajo que describía la aplicación de ecuaciones dinámicas de fluidos para la predicción del movimiento de las tormentas.

El comienzo de la historia del caos se sitúa en la década de los 50, con el invento de las computadoras como telón de fondo, cuando empezaron a verse las primeras gráficas sobre el comportamiento de ciertos sistemas mediante métodos numéricos. En 1961, aconsejado por el científico Robert White, Lorenz había adquirido un ordenador para realizar los cálculos a mayor velocidad. Escribió un programa rudimentario para el cambio en una pauta climática basado en 12 ecuaciones que esperaba le predijeran el tiempo en la atmósfera.

En estos años, las computadoras eran muy lentas y Lorentz solía hacer pausas mientras la máquina realizaba los cálculos; como quería ver un resultado más amplio plasmado en una forma gráfica, pensó que podría ser una buena idea tomar un valor de los obtenidos por el ordenador, introducirlo como punto de partida y que, desde ahí, siguiera ejecutándose el programa. Para simplificar las operaciones, redujo de seis a tres los decimales, un mínimo cambio que no tendría efectos apreciables.

A su regreso, quedó sorprendido al ver que la predicción de su programa se había desviado sustancialmente del resultado anterior. Su primera idea fue que había cometido algún error al ejecutar el programa y lo repitió en numerosas ocasiones, obteniendo siempre el mismo resultado, hasta que se dio cuenta de que algo pasaba con el sistema de ecuaciones simplificado con el que estaba trabajando.

«Los números que yo había tecleado no eran los números originales exactos sino los valores redondeados que había dado la impresora en un principio. Los errores redondeados iniciales eran los culpables: se iban amplificando constantemente hasta dominar la solución. Dicho con terminología de hoy: se trataba del caos».

Lorenz se dedicó a investigar qué pasaba y publicó sus conclusiones, en 1963, en un trabajo titulado «Flujo determinista no periódico» en el que describió un sistema relativamente simple de ecuaciones que dieron lugar a un patrón de la complejidad infinita, llamado atractor de Lorenz. El hecho de que sus estudios aparecieran en revistas meteorológicas, que los científicos de otras disciplinas no leían, los hicieron pasar bastante desapercibidos durante casi una década. Pero lo que había descubierto tenía una enorme trascendencia en numerosas áreas que van desde la aerodinámica a la economía, pasando por la biología o la medicina. Lorenz había observado que existen sistemas que pueden desplegar un comportamiento impredecible, en los que pequeñas diferencias en una sola variable tienen efectos profundos en los resultados posteriores.

La Teoría del caos es la denominación popular de la rama de las matemáticas, la física y otras ciencias que trata ciertos tipos de sistemas dinámicos muy sensibles a las variaciones en las condiciones iniciales. Lorenz utilizaba el ejemplo del meteorólogo, que mediante cálculos muy precisos y partiendo de unas condiciones exactas, realiza una predicción climática aparentemente perfecta. Pero no haber tenido en cuenta el efecto de ese mínimo aleteo inicial podría llevarle a equivocarse totalmente.

En 1972 en una conferencia de la American Association for the Advancement of Science, en el MIT, Lorenz comunicó este concepto, en forma de pregunta, Predictibilidad ¿El aleteo de una mariposa en Brasil hace aparecer un tornado en Tejas?. Anteriormente, había usado el ejemplo de una gaviota pero, siguiendo las recomendaciones de unos colegas, lo cambio por el de la mariposa, mucho más poético.

Fuente Diario El Mundo

Una regresión matemática, contra el cancer…

Dos matemáticos, el británico David Cox (Universidad de Oxford) y el estadounidense Bradley Efron (Universidad de Stanford), han sido galardonados con un premio en Ciencias Básicas por desarrollar herramientas estadísticas para obtener resultados fiables en diferentes áreas del conocimiento. Al agradecer el premio, por videoconferencia en una rueda de prensa celebrada en Madrid, ambos han destacado también la aplicación de sus trabajos en la medicina, en ensayos clínicos contra el cáncer o el sida. cox

La contribución de Cox, la llamada “regresión de Cox”, es una herramienta que permite explicar la duración de un intervalo temporal entre dos eventos de interés, que depende de factores identificables y no del mero azar (como la mortalidad de un grupo de personas por una determinada enfermedad), para construir modelos predictivos. La regresión de Cox se ha utilizado, por ejemplo, para calcular el tiempo para la aparición de un cáncer de pulmón en algunas personas según el número de cigarrillos que fumaban al día. “Me sorprende y me encanta saber que mi trabajo tiene ese tipo de aplicación, sobre todo porque creo que debería ser una prioridad para la ciencia que la gente entendiera más de estadística. Mucha gente es escéptica con los números”, comenta el matemático.

La herramienta de Efron, llamada bootstrap (literalmente, lengüeta de bota), es “engañosamente simple”, según el acta del jurado: consiste en un método para determinar el margen de error de una medida, un dato esencial en la ciencia, porque sin él el resultado carece de valor. Hasta entonces la determinación del margen de error se llevaba a cabo mediante aproximaciones matemáticas que, según Efron, podrían ser muy complejas y no siempre acertaban. Lo que hizo el matemático con el bootstrap fue delegar el trabajo de pensar a un ordenador. “Diseñas un algoritmo y la máquina obedece a él para llegar a resultados más objetivos”, explica Efron.

La herramienta desarrollada por el estadounidense parecía tan sencilla que fue recibida con desconfianza cuando la presentó a la comunidad científica, en 1979. El mismo David Cox, que conoció a Efron cuando este viajó al Reino Unido para un año sabático en 1982, se mostró escéptico al principio: “Me parecía que, como científico, aquello era hacer trampa, pero luego Brad me convenció”, recuerda Cox. Desde entonces, los dos han colaborado en sus respectivas investigaciones estadísticas. Trevor Hastie, matemático catedrático de la Universidad de Stanford y miembro del jurado, señala que Cox y Efron “son los dos estadísticos vivos más influyentes” y que han revolucionado el campo.

Ambos matemáticos opinan que no solo sus métodos, sino la estadística en general, seguirá siendo una pieza clave en el desarrollo científico de los próximos años, sobre todo en el área del Big Data. Efron apuesta especialmente por lo que llama data science, la construcción de bases de datos médicos masivos. “Eso nos permitirá analizar a fondo toda la información sobre una enfermedad, por ejemplo, para desarrollar tratamientos más eficaces”, concluye el científico.

Fuente: El País

Experiencia: La escuela-milagro de Anand ‘Mathemagic’

Anand Kumar, un matemático que se desvive para que los más necesitados de India tengan una oportunidad. Cuando la profesión se pone al servicio del bien común. 
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