Podemos representar el estado de un sistema en un momento dado como un vector de N dimensiones formado por todos los valores de sus variables de estado:
( x1 … xN )
Sin embargo, debido a las restricciones impuestas, no todas las variables de estado pueden tomar cualquier valor: unas dependen de otras.
Se llama “dimensión” o “grados de libertad”, n, del sistema al número máximo de variables de estado independientes.
De forma un poco grosera, para restricciones que sean independientes:
n = Grados de libertad = número de variables de estado – número de restricciones.
Así, un sistema de 10 variables de estado y 3 restricciones independientes tiene 7 grados de libertad.
Si el sistema tiene dimensión “n” y las variables a partir de n, xn+1 … xN son dependientes de las anteriores, entonces, el sistema queda realmente descrito por el siguiente subconjunto de variables:
( x1 … xn )
Y no necesitamos considerar el resto.
Para cada punto, definimos el vector de la evolución instantánea del mismo desde ese punto como la derivada respecto del tiempo en ese punto.
( dx1 / dt … dxn / dt )
Obtenemos así un campo de vectores. Este campo de vectores puede tener muchas dimensiones y no ser representable.
En el caso más simple, de dos dimensiones (2 grados de libertad) el campo de vectores puede representarse como una “alfombra” de vectores, uno en cada punto:
En cada punto, el vector del campo nos da dos datos:
La dirección en la que el sistema evoluciona desde ese punto.
La velocidad a la que lo hace (que es la longitud o módulo del vector)
Las curvas cuya derivada respecto al tiempo en cada punto es igual al vector del campo en dicho punto se llaman curvas integrales y dan la evolución temporal del sistema.
Referencias
http://catarina.udlap.mx/u_dl_a/tales/documentos/lem/loaiza_r_m/capitulo3.pdf
http://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorial
http://es.wikipedia.org/wiki/Curva_integral_de_un_campo_vectorial
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d8/Line-Integral.gif
