Los sistemas dinámicos son aquellos que cambian con el tiempo, los cuales pueden ser explicados por medio de ecuaciones dinámicas y estructuras matemáticas; o bien, pueden ser representados como trayectorias de espacios de fases caracterizados por su capacidad de percibir la evolución del sistema en el tiempo. La teoría del caos, forma parte del estudio general de los modelos dinámicos, interesada fundamentalmente en el comportamiento de sistemas no lineales o de los sistemas disipatívos, los cuales exhiben atractores, y sensibilidad a las condiciones iniciales (Smith, 1998). Donde, los atractores son oscilaciones dinámicas que eventualmente se encuentran en equilibrio (Vandermeer, 1981).
Los sistemas caóticos, matemáticamente se definen como una aleatoriedad generada por la simple dinámica de los sistemas determinísticos, que permiten ver el orden en los procesos que parecen ser totalmente aleatorios (Tsonics y Elsner, 1989). La no-linealidad es una característica de la evolución de los fenómenos naturales, como es la precipitación, donde largos periodos de estabilidad son intercalados con oscilaciones aparentemente aleatorias en épocas de inestabilidad.
Las bifurcaciones catastróficas resultan en súbitas apariciones y desapariciones de atractores estáticos, ya sean periódicos o caóticos, y son la clase de transformaciones que mantienen los sistemas en evolución y que incluyen desde especies a sistemas ecológicos y climáticos (Ritter et al., 2000). Mientras que, los métodos lineales de pronóstico en las series de tiempo presentan limitaciones. Cuando la linealidad es muy marcada, los efectos de retraso entre sus elementos tienden a ser muy pequeños, presentándose puntos de equilibrio estable donde se exhiben procesos de bifurcaciones, así como puntos estables donde la población oscila en ciclos y periodicidades fácilmente identificables (May, 1976).
Mientras tanto, cuando las razones de crecimiento del sistema rebasan cierto límite, los ciclos estables entran en situaciones de comportamiento caótico, prácticamente imposibles de predecir. En este caso, la dinámica observada del sistema es simulable por medio del modelo logístico determinístico, quien presenta mejores descripciones del proceso incluso sobre bases probabilísticas, o estocásticas.
Los sistemas dinámicos pueden ser utilizados para seguir trayectorias de corto plazo, y se puede extraer además información de largo plazo sobre el comportamiento general de las trayectorias, según sus giros en torno a los atractores. Por lo tanto, los modelos caóticos (que tienen regímenes caóticos, para al menos algunos valores de los parámetros) pueden presentar situaciones deseables en los sistemas predictivos (Smith, 1998).
Para un sistema con muchos grados de libertad, la estadística es deseable. Sin embargo, un comportamiento irregular puede ser resultado de un caos de baja dimensión, es decir de procesos de modelos no lineales. El resultado más importante de la teoría de los sistemas dinámicos, es el descubrimiento de que el comportamiento complejo e impredecible no necesariamente se debe a la presencia de un gran número de grados de libertad, sugiriendo que los atractores extraños pueden caracterizarse por medio de series finitas de tiempo, como muestras de un sistema dinámico.
Estas nuevas metodologías de pronóstico estadístico no-lineal utilizan series de tiempo, y construyen los modelos directamente de los datos disponibles donde las series de tiempo son consideradas como realizaciones únicas de procesos aleatorios continuos (Nicollis y Nicollis, 1984). Donde, la aleatoriedad es un resultado de interacciones complejas participando muchas variables o muchos grados de libertad.
Las trayectorias de los espacios de fases, son resultados de una variable en el tiempo N(t) y un retraso de la misma N(t+1), lo cual describe una dinámica determinística del sistema para un sistema con un grado de libertad. Los sistemas dinámicos, como la precipitación, son caracterizados por la atracción de sus trayectorias hacia un objeto geométrico llamado atractor, el cual ocupa una reducida porción del espacio de fases (Rodríguez-Iturbe et. al., 1989). Pero al mismo tiempo, está formada por trayectorias que eventualmente convergen y permanecen sobre el espacio total disponible.
En tanto, cuando un atractor muestra una dimensión fraccional, es llamado «atractor extraño», el cual es altamente sensible a las condiciones iniciales y tiene la propiedad de que el sistema decae o es atraído a un estado final, pero es extremadamente complejo y no es periódico; de hecho es caótico y pseudoaleatorio, de tal forma que es la solución de un conjunto de ecuaciones determinísticas, mostrando que el sistema es no lineal y determinístico (Suárez, 2004).
Debido a su gran sensibilidad a las condiciones iniciales, puede llevar a patrones completamente diferentes al sistema con tan solo pequeñas perturbaciones, derivándose así grandes efectos, conocidos como efecto mariposa (Lorenz, 1963).
Los atractores extraños también son llamados sistemas caóticos, donde sus trayectorias nunca se repiten, su evolución es aperiódica pero completamente determinística, sus señales son irregulares y exhiben energía en todas las frecuencias dentro del espectro de banda ancha (Elsner y Tsonics, 1992).
Una vez que el atractor extraño ha sido identificado, puede ser cuantificado al calcular varias medidas como la de su dimensión y su exponente de Lyapunov (Ritter, et al., 1998). Los atractores son capaces de formar múltiples invariantes de los sistemas dinámicos, dependiendo de los períodos que sean analizados, los cuales frecuentemente tienen baja dimensionalidad (entre 4 y 5) sobre todo para atractores climáticos (Fraedrich, 1986).
Mientras que, la estabilidad de un sistema puede ser determinada por las oscilaciones en las trayectorias en los espacios de fases, éstas pueden ser oscilaciones estables e inestables. En donde, las oscilaciones estables presentan un decrecimiento en su amplitud hasta localizarse en un punto de equilibrio; en tanto que en las oscilaciones inestables se presenta un ligero movimiento del punto de equilibrio que lleva a oscilaciones que se alejan cada vez más del punto de equilibrio, es decir, produce trayectorias que nunca regresan a un ciclo permanente (Vandermeer, 1981).
La predictibilidad de los sistemas está relacionada al problema de su estabilidad. De tal manera, que un sistema dinámico puede ser amplificado por influencias estocásticas iniciadas desde el medio externo, sin generar ruido o caos (Deissler y Doyne, 1992). La estabilidad tanto local como global, pueden causar ruido ambiental y ser amplificada a proporciones macroscópicas. Las inestabilidades locales causan fluctuaciones temporalmente amplificadas en el espacio de fases (May, 1976; May y Oster, 1976).
El caos determinístico se refiere a ecuaciones diferenciales sin aleatoriedad. Algunas simplificaciones, tienden a omitir factores estocásticos afectando el sistema. Ambos, el sistema por si mismo y las perturbaciones externas, contribuyen a la impredictibilidad del sistema (Sugihara y May, 1990). En la actualidad, es sabido que los procesos estocásticos y determinísticos son difíciles de identificar. Sin embargo, la precipitación representa usualmente una gran dispersión, de tal forma que exhibe movimientos parecidos a sistemas estocásticos, aún siendo un sistema determinístico. En donde, los modelos estocásticos proporcionan la incertidumbre de los sistemas por medio de la probabilidad (Schifter, 1996).
Entonces, existen métodos en la ciencia para identificar el caos determinístico del estocástico. Sin embargo, el caos determinístico es derivado desde su misma fuente, por la dinámica de sistemas descrita por ecuaciones diferenciales no lineales. En el caso del caos desde las ecuaciones dinámicas determinísticas no lineales, donde son generadas propiedades internas intrínsecas que diferencian ellos mismos desde efectos no controlados y fluctuaciones estocásticas (Ritter et. al.)
